7月中旬清纯诱惑，朗兰兹概要中长久以来缺失的拼图——几何朗兰兹想到终于获证。圆善证明有9位数学家参与其中，历时30年之久，悉数5篇800余页论文。

朗兰兹概要是20世纪最要紧的数学“舆图”，被称为“数学界的大一统表面”。其涵盖的内容极其博大，不乏兴趣兴趣的历史细节和数学想想。比如说，不管是朗兰兹概要，照旧用于证明几何朗兰兹想到的中枢器具，灵感透澈萌发自兼并时代的两处监狱之中；同期，朗兰兹概要的建议还和数学史上最著明的两封信径直谈论。当今，这一为不同规模架起“桥梁”的迷东说念独揽论，离竣事又近了一大步。

撰文 | 嘉伟

罗伯特·朗兰兹 | 图源：Robert Langlands - Wikipedia

1996年，菲尔兹奖得主恩里科·邦别里（Enrico Bombieri）在朗兰兹会议——贺罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）60岁寿诞上发言：“数学家们也曾沿着朗兰兹的想路责任了25年，越来越多的凭据确认事情正按他所说的那样发展，他成为了数学前进的推能源。”

“他所说的那样”即是指20世纪最要紧的数学“舆图”——朗兰兹概要（Langlands program）。加州大学伯克利分校的数学耕种、著明数学家爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）径直称其为“宽阔的数学大一统表面”。就如同表面物理中“大一统表面之梦”意欲把已知的四种基本力调处到一个框架里雷同，朗兰兹概要建议了一个深刻而坚强的表面框架，应用代数方程精准解的高阶奉行，触及数学最基本的规模，并将解析函数镶嵌几何时势中。它使得许多相距甚远的数学规模能够调处到一个坚强的解析要津时势中。

从一运行，投身其中的数学家就显着，对朗兰兹概要的证明不可能一蹴而就，只可一步一个脚印，少量少量地去打破，关于通盘概要的证明也许需要好几代东说念主的尽力，但只消磨铁成针，他们肯定，但愿就在咫尺。到今天，尽力的申报决然荒谬丰厚。2024年7月中旬，概要中长久以来缺失的拼图——几何朗兰兹想到——终于获证。圆善证明有9位数学家参与其中，历时30年之久，包括5篇大论文，悉数800余页。

这是震撼数学界的要紧新闻，或者是2024年度最为要紧的数学打破。想必好多读者早已看过谈论报说念。有几家媒体也翻译了Quanta Magazine上报说念此事的精彩著作“Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture”。但是，因为朗兰兹概要涵盖的内容极其博大，不错从好多不同的角度来讲述和领悟，是以现存著作真实齐错过了不少兴趣兴趣的历史细节和数学想想。比如说，不管是朗兰兹概要，照旧用于证明几何朗兰兹想到的中枢器具，灵感透澈萌发自兼并时代的两处监狱之中；同期，朗兰兹概要的建议还和数学史上最著明的两封信径直谈论。

兄妹的狱中通讯

其一就是法国最著明的一双知识分子兄妹的狱中通讯。

曾有东说念主向玄学家西蒙娜·韦伊发问：唯有傻瓜才会坠入爱河，对永诀？

西蒙娜回答说念：莫得任何存在之物是透澈值得咱们去爱的。因此，咱们必须去爱那些不存在之物。

安德烈·韦伊是大卫·希尔伯特之后，通盘数学界的领航者之一。| 图源：André Weil - Wikipedia

1940年，安德烈·韦伊（André Weil）在法国鲁昂的一所监狱里写下了20世纪数学界最要紧的信件之一。他因拒却入伍而获刑，在狱中他与住在伦敦的妹妹通讯，以掌持互相的现状。

安德烈·韦伊出身于巴黎，西蒙娜·韦伊是他的妹妹，亦然他唯独的昆季姐妹。自后，哥哥成为20世纪最伟大的数学家之一，妹妹则成为著明且在现代愈发有影响力的玄学家和政事四肢家。

在之前的一封信中，西蒙娜曾条目哥哥向她先容一下他最近的商议内容。炮火连天下，安德烈谨防翼翼地写下了复书，他“告诫”妹妹：“你将对接下来的事情一无所知”。在接下来的14页中，他勾画了数学“罗塞塔石碑”的想想。著明的罗塞塔石碑用三种讲话记载了兼并内容，这使得历史学家和讲话学家通过其上的古希腊笔墨，破译了也曾断了传承的古埃及笔墨。韦伊的“罗塞塔石碑”则将数学的三大规模谈论起来：数论、几何学，以及中间的有限域。

其他数学家也建议过类似的办法，但韦伊是第一个讲述确凿愿景的东说念主。他的信启发了自后的朗兰兹概要。

13岁的西蒙娜。这张相片是在全家去比利时度假技术拍摄的，她在哪里和哥哥荒谬兴隆。|图源：Simone Weil - Wikipedia

在写给妹妹的信中，韦伊宣称“与数域的类比是如斯严格和彰着，以至于在算术中，莫得一个论点和扫尾不成真实一字一句地翻译到函数[或有限]域上”。不外，多项式不错在有限域上示意和剖析是一趟事，但将复分析的全部机制导入有限域则是另一趟事。但是他自信地断言，“互异还不大，以至于耐烦的商议不错教育咱们从一个规模调度到另一规模的艺术。

那是在1940年。在接下来的十年里，韦伊斥地了精准的要津，破译了他的数学“罗塞塔石碑”的大片区域。他还对数论和几何之间的谈论建议了一系列想到。其中最斗胆的是黎曼想到的有限域版块。韦伊本东说念主证明了一维的情况。

第二封信

若是用武侠演义来类比数学界，那么即便在顶尖能手里，韦伊的武功之高强也属骇东说念主闻听。不管是何等抽象、复杂的“火器”（表面），他齐能信手拈来，绝不坚苦。亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）被誉为是代数几何学的教皇，而他那时斥地的代数几何学的表面器具，主要就是为了给韦伊提供武器去攻克黎曼想到！格罗滕迪克那时发掘了名为“层”（Sheaves）的数学结构的后劲，而应用特殊的层结构则是本年证明几何朗兰兹想到的枢纽。

此外，东说念主类似乎非凡可爱排行，即等于数学家也不成免俗。这里再共享一则韦伊的趣事：

在1950年代，芝加哥大学数学系举办了一场圣诞派对。许多著明的数学家出席了，包括安德烈·韦伊。为了文娱，世东说念主试图列出十位最伟大的辞世数学家，但不成包括在场的东说念主。但是，韦伊宝石条目把我方列入候选范围。

自后，韦伊搬到了普林斯顿的高档商议院（IAS）。在1970年代中期，一位普林斯顿大学的商议生问他谁是二十世纪最伟大的数学家，他绝不徬徨地回答：“卡尔·路德维希·西格尔（Carl Ludwig Siegel）。”当被问到谁是本世纪第二伟大的数学家时，他只是浅笑着，在他的翻领上擦了擦指甲。（出自Michael Harris’s “Mathematics without apologies”）

这位二十世纪最伟大的数学家（之一）到达普林斯顿不久，就收到了一封17页的手写信件，寄信东说念主恰是30岁的普林斯顿大学耕种罗伯特·朗兰兹。

1967年1月，朗兰兹在普林斯顿大学时，给安德烈·韦伊写了一封17页的手写信，详尽了自后被称为“朗兰兹概要”的内容。即使在今天，这封信也值得仔细阅读，尽管按照目前的圭臬，它的标志有些调皮。| 图源：普林斯顿高档商议院档案，Letter to André Weil | publications.ias.edu

信中以为，按照韦伊的“数学罗塞塔”的想想，数论和有限域上的多项式，不错通过一种奉行的傅里叶分析，树立起荒谬坚强和范围惊东说念主的谈论！

在经典的傅里叶分析中，名为傅里叶变换的经过在两种不同的领路神色之间树立起了对应谈论。对应谈论的一侧是波，复杂的波不外是正弦波的组合。对应谈论的另一端是正弦波的频率频谱——在声学征象里即它们的音高。

傅里叶变换允许双方往复调度。在一个方朝上，它允许咱们将波剖析为一组频率；另一方面，它匡助咱们由频率重建波。莫得傅里叶变换，咱们就不会有现代电信、信号处理、磁共振成像等许多现代生存必需品。

方波的傅里叶级数，波与频谱之间的对应谈论。| 图源：Seugwon Park，illustr

朗兰兹建议，在数论和函数域里，也能构造类似的傅里叶变换，但此时的“波”和“频率”愈加抽象和复杂。

构建对应

在数论里奉行傅里叶变换，波与频率分属截然有异的规模，而树立起它们的对应谈论，时时会带来丰厚的申报。在1990年代，当结实到椭圆弧线和模时势之间存在对应谈论之后，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）和理查德·泰勒（Richard Taylor）证明了费马大定理。而朗兰兹概要所形容的景致愈加介意广漠，咱们难以联想当它完成之时，到底能收成若干申报。

从另一个角度来说，尽管数论版的朗兰兹概要深不可测，但仍旧根源于古典数论的基本问题，即三千年前的数学前驱就已运行想考的、代数方程的有领悟和整数解。更确凿点说，它不错看作是二次互反律的奉行。素数相当于傅里叶变换里的频谱。

但是，要怎样把几何纳入到这一框架里呢？关于紧致的黎曼曲面，最中枢的几何/拓扑特征是它上头的洞。

在数学科普里，有一反复使用的学问性示例：咖啡杯和甜甜圈在拓扑学里其实是调换（同胚）的东西。因为它们齐唯有一个洞。若是你无法联想的话，底下就有咖啡杯平滑变形为甜甜圈的经过。

这组陶瓷模子由卡内基梅隆大学的Keenan Crane和俄克拉荷马州立大学的Henry Segerman亲手烧制而成。| 图源：Keenan Crane & Henry Segerman

是以任何用于刻画黎曼曲面的频谱，齐需要包含这些骨子结构的信息。合理推断，信息应该以名为基本群的代数拓扑学成见的时势被索求出来。

但是，在很长一段时辰里，数学家齐无法联想怎样构造基本群的特征函数（相当于经典傅里叶变换里的正弦函数）。就连朗兰兹起初形容他的概要时，几何部分齐未包含在内。

直到20世纪80年代，数学家弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）才结实到，通过将特征函数替换为特征层（eigensheaf），有可能构建一个几何版块的朗兰兹对应谈论。而几何朗兰兹想到的精准表述直到本世纪才出现——2012年，丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）与迪玛·阿林金（Dima Arinkin）相接，通过一篇长达150多页的论文给出了这一表述。

在经典信号处理规模，声波不错由正弦波组成，其频率对应于声息的音高。只是知说念声息包含哪些音高是不够的，还需要了解每个音高的响度。这些信息允许工程师将声息示意为正弦波的组合：从振幅为1的正弦波运行，再乘以符合的响度因子，然后将这些正弦波相加。整个这些振幅为1的不同正弦波之和就是所谓的“白噪声”。

在几何朗兰兹想到中，特征层的作用类似于正弦波，但径直用它充任黎曼曲面的特征函数，则荒谬之难。幸亏几位相接者又识别出一种名为庞加莱层（Poincaré sheaf）的东西，已知其可调度为特征函数。若是它能充任几何学里的“白噪声”，则大功奏凯。但是，这些商议者不细则是否不错将每个特征层齐示意为庞加莱层——就像把弦波剖析成白噪声之和，更不细则后者是否具有调换的“振幅”。这就是终末需要证明的东西。

樊笼里的光

特征层和庞加莱层，齐是之前说起的层成见的特例。况兼，层的建议偶然和韦伊在狱中构想“数学罗塞塔”是兼并时辰。

安德烈·韦伊在他的自传中提到，他在监狱中的资格对他的数学商议产生了深入的影响……

监狱中的孑然环境使他的想维变得非凡明晰。在狱中莫得外界的干预，能够专注于数学问题的想考和责罚。这种环境促使他在数学商议上取得了要紧打破。他自后半开打趣地说，监狱是数学家最佳的商议环境。

1940年，法国应用数学家和炮兵军官让·勒雷（Jean Leray）的资格，似乎佐证了韦伊对监狱的领悟。

他被德国东说念主俘虏后告诉审讯者，我方是别称拓扑学家，因为挂牵若是德国东说念主发现了他信得过的专科规模——流体能源学，会将就他为德国的干戈机器行状。在他被幽囚的近5年时辰里，勒雷通过进行拓扑学商议来妥贴我方的东说念主设。拓扑学是商议可变形花式的数学分支。他最终创造了现代数学中最具窜改性的办法之一：层（sheaves）的成见。

塞尔（Jean-Pierre.Serre）著明的论文Faisceaux Algébriques Cohérents展示了怎样使用层来给代数簇提供一个通用界说（通过使用层将称为仿射簇的陋劣几何对象拼接在一说念），以及怎样将代数几何中的经典想想再行解释为层的上同调。塞尔的责任引发了格罗滕迪克的层表面要津，使之成为代数几何更基础的有经营。

从格罗滕迪克运行，数学家渐渐结实到，层的鸠集与函数的鸠集有许多共同点，但复杂进程更高。咱们不错对层进行相加和相乘运算，致使不错对它们进行特殊的微积分运算。

在监狱里，勒雷灵通了通往数学新寰球的大门。

趁机说一句，勒雷在战俘营里还发明了谱序列，这是一种荒谬复杂但坚强到真实难以置信的器具。谱序列在许大齐学规模中齐至关要紧，包括代数几何、代数拓扑和同调代数。关于一个为了幸免被德国东说念主运用其能力而宣称我方是纯数学家的东说念主来说，这着力并不算太差。

陋劣点说，层是用于获取“局部”信息并稽查是否不错将这些局部信息粘合在一说念以得到“全局”信息的器具。封闭咱们粘合信息的“力量”会指令咱们参加所谓的层的上同调，这是代数几何和复分析的中枢内容。

笔者从印度数学家Y.V. Srinivas哪里学来了用子图着色来领悟“层”的直不雅神色。读者不错联接底下的例子，来领悟什么是“获取局部信息并稽查是否不错将这些局部信息粘合在一说念以得到全局信息”。

商量一个图的整个着色。假定咱们用一组子图（可能近似）遮盖这个图。通盘图的着色不错限度为每个子图的着色。反过来，假定咱们用着色有经营C(S)为每个子图S着色。若是两个子图近似，咱们条目它们在近似部分的着色一致。也就是说，假定一个过头V同期出当今子图S和子图T中，那么有经营C(S)和C(T)必须为V点汲取调换的情态。在这种情况下，咱们不错将整个子图的着色粘合在一说念，得到通盘图的着色。这就是把局部信息粘合成在一说念的经过。

重建巴别塔

我躺在床上想考了三个月。

——丹尼斯·盖茨戈里

Dennis Gaitsgory（左）和 Sam Raskin（右）率领的九东说念主团队证明了几何朗兰兹想到。| 图源：Natasha Bershadsky; Charlotte Krontiris

2020年大家疫情暴发，或者终止技术的景况和下狱有几分类似。丹尼斯·盖茨戈里躺在床上想考了三个月。他琢磨出来的表面，为终末的证明埋下了但愿的种子。

旧年，几何朗兰兹项经营另一位率领者山姆·拉斯金（Sam Raskin）在资格了细君阁下预产期的七手八脚之后，终于与几位商议者聚在一说念，鸠集了几东说念主的聪敏，攻克了终末一说念难关。

几何朗兰兹想到终末一篇论文的7位合著者。上头四东说念主中左二为陈麟，清华大学丘成桐数学科学中心助理耕种。| 图源：Giancarlo Rado; Yau Mathematical Science Center; Wyatt Reeves; Diana Tyszko; Lisa Smith; Jean Lachat; Alex Arinkin

如同前文所述，朗兰兹概要最迷东说念主之处就是为不同规模树立起桥梁。如今几位相接者正在尝试将他们的几何扫尾再翻译到函数域上，外传也曾取得了阐明。若是得胜，将证明函数域版块的朗兰兹想到比数学家之前知说念致使推断的还要精密得多。

当今，数学界需要时辰渐渐消化几何朗兰兹想到的证明。同期，数学寰球的开拓者们正一步一个脚印，安宁但坚贞地把朗兰兹的玄学窜改为一个个数学定理。

参考贵府

[1] Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture | Quanta Magazine

[2]“God does not algebra”: Simone Weil’s search for a supernatural reformulation of mathematics. DOI:10.25180/lj.v25i2.340

[3]A Rosetta Stone for Mathematics | Quanta Magazine

[4]数学家和玄学家：兄妹的故事 – The Irish Times

[5]《代数数论简史》，冯克勤，湖南耕种出书社

[6]A Very Elementary Introduction to Sheaves (arxiv.org)

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